逆向投資策略之動態跌幅門檻效果研究

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3.5 績效評估指標

本節定義本研究採用的績效評估指標，包括報酬指標、風險指標、風險調整指標與穩定性指標。這些指標將用於參數最佳化（第一階段）與策略比較（第二階段），確保評估結果的全面性與客觀性。

一、指標體系總覽

本研究採用的績效指標可分為四大類：

類別 指標名稱 符號 主要用途
報酬指標年化報酬率$R_{ann}$衡量絕對獲利能力
累積報酬率$R_{cum}$衡量長期增值效果
風險指標年化標準差$\sigma_{ann}$衡量報酬波動程度
最大回檔$MDD$衡量最大潛在損失
風險調整指標夏普比率$SR$衡量單位風險報酬
Sortino 比率$SoR$衡量下行風險調整報酬
穩定性指標勝率$WR$衡量獲利頻率
變異係數$CV$衡量報酬穩定性
資金使用率$UR$衡量策略活躍度

二、報酬指標

2.1 年化報酬率（Annualized Return）

定義：將任意期間的報酬率轉換為年度基準，便於不同期間的比較。

計算公式：

對於持有期間 $T$ 年的累積報酬率 $R_{cum}$，年化報酬率為：

$R_{ann} = (1 + R_{cum})^{1/T} - 1$

範例：

本研究的計算方式：

由於本研究採用年度結算機制，年化報酬率的計算可簡化為各年度報酬的幾何平均：

$R_{ann} = \left(\prod_{y=1}^{T}(1 + R_y)\right)^{1/T} - 1$

其中 $R_y$ 為第 $y$ 年的報酬率，$T$ 為總年數（本研究 $T = 10$）。

解讀方式：

年化報酬率 評價 參考基準
> 15%優異超越大多數主動基金
10% - 15%良好接近或超越市場指數
5% - 10%普通略低於市場平均
< 5%不佳可能不如定存

2.2 累積報酬率（Cumulative Return）

定義：投資期間內的總報酬率，反映本金的總增值幅度。

計算公式：

$R_{cum} = \frac{V_T - V_0}{V_0} = \frac{V_T}{V_0} - 1$

其中：

本研究的計算方式：

考量本金滾動機制，累積報酬率為各年度報酬的複利累積：

$R_{cum} = \prod_{y=1}^{T}(1 + R_y) - 1$

範例：

2.3 年度報酬率（Annual Return）

定義：單一年度的投資報酬率。

計算公式：

$R_y = \frac{V_{y,\text{end}} - V_{y,\text{start}}}{V_{y,\text{start}}}$

其中：

本研究的特殊處理：

由於採用分批投資，年度報酬率需考慮投資時點的差異：

$R_y = \frac{\text{年末總價值} - \text{年初本金}}{\text{年初本金}} = \frac{PV_y + \text{Idle}_y - \text{Capital}_y}{\text{Capital}_y}$

其中：

三、風險指標

3.1 年化標準差（Annualized Standard Deviation）

定義：報酬率的標準差，衡量報酬的波動程度。

計算公式：

基於年度報酬率序列 $\{R_1, R_2, ..., R_T\}$：

$\sigma_{ann} = \sqrt{\frac{1}{T-1}\sum_{y=1}^{T}(R_y - \bar{R})^2}$

其中 $\bar{R} = \frac{1}{T}\sum_{y=1}^{T}R_y$ 為年度報酬率的平均值。

解讀方式：

年化標準差 波動性評價 適合投資人類型
< 10%低波動保守型投資人
10% - 20%中等波動穩健型投資人
20% - 30%高波動積極型投資人
> 30%極高波動高風險承受者

3.2 最大回檔（Maximum Drawdown, MDD）

定義：投資組合從歷史高點到低點的最大跌幅，衡量最壞情況下的潛在損失（Magdon-Ismail & Atiya, 2004）。

計算公式：

$MDD = \max_{t \in [0,T]} \left( \frac{\text{Peak}_t - V_t}{\text{Peak}_t} \right)$

其中：

計算步驟：

  1. 計算每個時點的歷史最高價值（Peak）
  2. 計算每個時點的回檔幅度：$DD_t = (\text{Peak}_t - V_t) / \text{Peak}_t$
  3. 取最大值：$MDD = \max_t DD_t$

範例：

時點 價值 Peak 回檔
0100,000100,0000%
1110,000110,0000%
295,000110,00013.6%
385,000110,00022.7%
4105,000110,0004.5%
5120,000120,0000%

最大回檔 = 22.7%（發生在時點 3）

解讀方式：

MDD 風險評價 投資意涵
< 10%低風險適合風險厭惡者
10% - 20%中等風險一般投資人可接受
20% - 30%高風險需有心理準備
> 30%極高風險可能面臨重大損失

3.3 下行標準差（Downside Deviation）

定義：僅計算負報酬的標準差，更精確地衡量下行風險。

計算公式：

$\sigma_d = \sqrt{\frac{1}{T}\sum_{y=1}^{T}\min(R_y - MAR, 0)^2}$

其中 $MAR$（Minimum Acceptable Return）為最低可接受報酬，通常設為 0% 或無風險利率。

與標準差的差異：

四、風險調整指標

4.1 夏普比率（Sharpe Ratio）

定義：每單位總風險所獲得的超額報酬，是最廣泛使用的風險調整績效指標（Sharpe, 1966, 1994）。

計算公式：

$SR = \frac{R_{ann} - R_f}{\sigma_{ann}}$

其中：

本研究的無風險利率設定：

方案 設定值 適用情境
方案 A$R_f = 0\%$簡化計算，便於比較
方案 B$R_f = 2\%$反映近年低利率環境
方案 C當年國庫券利率最精確，但年度變動

本研究主要採用方案 A（$R_f = 0\%$），並在敏感度分析中測試方案 B 的影響。

解讀方式：

夏普比率 評價 說明
> 1.0優異每單位風險獲得超過 1 單位報酬
0.5 - 1.0良好風險報酬比適中
0 - 0.5普通報酬未能充分補償風險
< 0不佳報酬低於無風險利率

學術依據：

夏普比率由 William Sharpe（1966）提出，並於 1994 年進行修訂。該指標假設報酬率服從常態分布，在實務中雖有限制，但仍是學術與業界最常用的風險調整指標。

4.2 Sortino 比率（Sortino Ratio）

定義：以下行標準差取代總標準差，更精確地衡量下行風險調整報酬（Sortino & van der Meer, 1991）。

計算公式：

$SoR = \frac{R_{ann} - MAR}{\sigma_d}$

其中：

與夏普比率的比較：

特性 夏普比率 Sortino 比率
風險定義總波動（含上行）僅下行波動
理論基礎均值—變異數架構行為財務學觀點
適用情境報酬近似常態報酬偏態或有尾風險
數值特性通常較低通常較高

本研究的應用：

Sortino 比率作為夏普比率的補充指標，特別適用於評估逆向投資策略（可能有較大的下行風險）。

4.3 資訊比率（Information Ratio）

定義：策略相對於基準的超額報酬除以追蹤誤差，衡量主動管理的效率（Goodwin, 1998; Grinold & Kahn, 2000）。

計算公式：

$IR = \frac{R_p - R_b}{\sigma_{p-b}}$

其中：

本研究的應用：

資訊比率用於評估 DROP 策略相對於 DCA 基準的主動績效貢獻。

五、穩定性指標

5.1 勝率（Win Rate）

定義：正報酬年度佔總年度的比例，衡量獲利的穩定性。

計算公式：

$WR = \frac{\#\{y : R_y > 0\}}{T} \times 100\%$

其中 $\#\{y : R_y > 0\}$ 為正報酬年度的數量。

範例：

解讀方式：

勝率 評價 投資意涵
> 80%極高幾乎每年獲利
60% - 80%高多數年度獲利
50% - 60%中等獲利與虧損年度相當
< 50%低虧損年度較多

注意事項：

勝率高不代表績效好。例如，9 年各賺 1%，1 年虧 50%，勝率 90% 但總報酬為負。因此需結合其他指標綜合評估。

5.2 變異係數（Coefficient of Variation, CV）

定義：標準差與平均值的比率，衡量報酬的相對穩定性（Pearson, 1896）。

計算公式：

$CV = \frac{\sigma_{ann}}{|\bar{R}|}$

其中：

解讀方式：

CV 穩定性評價 說明
< 0.5高度穩定報酬變動相對平均值較小
0.5 - 1.0中度穩定報酬有一定變動
> 1.0不穩定報酬變動大於平均值

本研究的應用：

變異係數用於 RQ3（參數穩定性）的評估，衡量最佳參數 P* 在不同年度的穩定程度。

5.3 資金使用率（Capital Utilization Rate）

定義：實際投入資金佔可用本金的比例，衡量策略的活躍程度。

計算公式：

$UR = \frac{\text{Invested Capital}}{\text{Total Capital}} \times 100\% = \frac{\text{投資次數} \times 10,000}{100,000} \times 100\%$

解讀方式：

資金使用率 評價 策略特性
90% - 100%極高幾乎全額投入，策略活躍
60% - 90%高大部分資金投入
30% - 60%中等部分資金閒置
< 30%低大量資金閒置，訊號稀少

本研究的重要性：

資金使用率是評估 DROP 策略實用性的關鍵指標。若使用率過低（如 < 30%），即使報酬率高，實際獲利金額也有限；若使用率過高（= 100%），可能表示門檻過於寬鬆。

與其他指標的關係：

P 值 門檻嚴格度 資金使用率 報酬率特性
P = 5極嚴格低（約 30%）可能較高但變動大
P = 20寬鬆高（約 80%）較穩定但可能較低

六、指標間的關係與權衡

6.1 報酬與風險的權衡

一般而言，追求較高報酬會伴隨較高風險：

$\text{高報酬} \leftrightarrow \text{高風險（標準差、MDD）}$

夏普比率與 Sortino 比率可量化這種權衡，識別「風險調整後」的最佳策略。

6.2 勝率與報酬幅度的權衡

策略類型 勝率 單次報酬 總報酬
高勝率策略80%小賺小賠穩定累積
低勝率策略40%大賺大賠取決於賺賠比

本研究的 DROP 策略傾向於「等待大跌進場」，可能屬於較低勝率但較高單次報酬的類型。

6.3 資金使用率與報酬效率的權衡

$\text{真實報酬率} = \text{名義報酬率} \times \text{資金使用率}$

即使名義報酬率高，若資金使用率低，真實報酬效果也會打折。

範例：

策略 名義報酬率 資金使用率 真實報酬效果
DROP_520%30%6%（相當於）
DROP_2012%80%9.6%（相當於）
DCA10%100%10%

此例說明，雖然 DROP_5 的名義報酬率最高，但考量資金使用率後，DCA 的實際效果可能更好。

七、指標計算的技術細節

7.1 處理閒置資金

本研究假設閒置資金不產生報酬（機會成本為零）。此假設較為保守，實務上閒置資金可存放於貨幣市場基金獲得約 1-2% 年化報酬。

敏感度分析：

在敏感度分析中，可測試閒置資金報酬率 $r_{idle} \in \{0\%, 1\%, 2\%\}$ 對結果的影響。

7.2 處理無交易年度

若某年度完全無交易（訊號從未觸發），處理方式如下：

7.3 處理極端值

對於可能的極端報酬（如單年報酬超過 100% 或低於 -50%），本研究：

  1. 不進行截尾處理：保留真實績效
  2. 標記異常值：在結果中標註並討論
  3. 穩健性檢定：使用中位數替代平均數進行補充分析

八、指標總結表

指標 公式 單位 理想方向 主要用途
年化報酬率$(1+R_{cum})^{1/T}-1$%越高越好絕對績效評估
年化標準差$\sqrt{\frac{\sum(R_y-\bar{R})^2}{T-1}}$%越低越好風險評估
最大回檔$\max_t\frac{Peak_t-V_t}{Peak_t}$%越低越好最壞情況評估
夏普比率$\frac{R_{ann}-R_f}{\sigma_{ann}}$無越高越好風險調整績效
Sortino 比率$\frac{R_{ann}-MAR}{\sigma_d}$無越高越好下行風險調整
勝率$\frac{\#(R_y>0)}{T}$%越高越好獲利穩定性
變異係數$\frac{\sigma_{ann}}{|\bar{R}|}$無越低越好報酬穩定性
資金使用率$\frac{IC}{TC}$%適中策略活躍度

九、小結

本節定義了本研究採用的績效評估指標體系，主要內容包括：

  1. 報酬指標：年化報酬率、累積報酬率，衡量策略的絕對獲利能力。
  2. 風險指標：年化標準差、最大回檔、下行標準差，衡量策略的風險程度。
  3. 風險調整指標：夏普比率（主要指標）、Sortino 比率、資訊比率，衡量單位風險的報酬效率。
  4. 穩定性指標：勝率、變異係數、資金使用率，衡量策略績效的穩定性與實用性。
  5. 指標間的權衡：說明報酬—風險、勝率—報酬幅度、資金使用率—報酬效率之間的權衡關係。

這些指標將在第四章的實證結果中具體應用，提供全面的策略績效評估。下一節將說明本研究採用的統計分析方法，包括假說檢定、變異數分析與事後比較。